از قدیم ریاضی به دو دسته ی حساب و هندسه تقسیم میشده در یونان بیشتر ریاضیدانان بزرگ به علم هندسه پرداخته اند زیرا در آن زمان که یونانی ها برده داری میکردند علومی را که کاربردی بود تحقیر میکردند زیرا آنها تمام کارها و علوم کاربردی را مختص برده ها می دانستند و چون فکر میکردند که علم هندسه کاربردی ندارد به علم هندسه پرداختند و کشفهای زیادی را در هندسه به دست آوردند ولی در زمینه ی حساب ضعف های زیادی داشتند البته در چند سده ی آخر که بیشتر دانشمندان به اسکندریه رو آورده بودند کارهای اندکی در زمینه ی ریاضیات محاسبهای داشتند.یونانی ها حتی نتوانستند راه ساده ای برای عدد نویسی پیشنهاد کنند و عددها را به کمک حروف الفبا مینوشتند. اما در سده ها و هزاره های پیش از دانش یونان مردمی که در سرزمینهای ایران، بابل، مصر، چین و جاهای دیگر زندگی می کردند از آن جا که به کاربرد های ریاضیات نظر داشتند نه تنها در عدد نویسی، که به طور کلی در زمینه های مختلف ریاضیات محاسبه ای، بسیار پیشرفته بودند و با عددهای کوچک و بزرگ کار می کردند.
روابط جالب در ریاضی
1=1×1
121=11×11
12321=111×111
1234321=1111×1111
...
2121=21×101
3838=38×101
9393=93×101
قانون: هر عددی در 101 ضرب شود در حاصل دوبار تکرار می شود
دیوفانت از ریاضی دانان یونان باستان بوده که بویژه روی مساله های مربوط به عدد صحیح کار میکرده است.پس از در گذشت دیوفانت شاگردانش نوشته زیر را بر روی سنگ گور او حک کردند:
﴿﴿ اینجا ارامگاه دیوفانتوس است.او عمری طولانی داشت یک ششم سالهای عمرش را در کودکی گذراند , پس از ان یک دوازدهم سالهای عمرش را در جوانی سپری کرد , انگاه پس از انکه یک هفتم از سالهای عمرش هم گذشت ازدواج کرد. پنج سال پس از انکه ازدواج کرد, همسرش برای او یک پسر اورد.سرنوشت چنین بود که این پسر پیش از او درگذرد در حالی که تعداد سالهای عمرش نصف تعداد سالهایی بود که پدرش زندگی کرد.﴾﴾دیوفانتوس چند سال عمر کرد و مرگ او چند سال پس از در گذشت پسرش روی داد؟
-> جواب:هر گاه طول عمر دیوفانت ۱ فرض شود تعدا سالهای که پیش از ازدواج گذرانده یک ششم بعلاوه ۱ دوازرهم بعلاوه یک هفتم سال میشود و وقتی عدد صحیح است که فرض برابر با مضربی از کوچکترین مضرب مشترک عددهای 6,12 و 7 یعنی مضربی از 84 باشد.اما از مضربهای صحیح 84 تنها خود 84 پذیرفتنی است.بنابراین:دیوفانت 84سال و پسرش 42 سال عمر کرده است و با محاسبه کسرهایی از عمرش که یاد شده اند به دست خواهد امد که پسرش وقتی زاده شده که او 38 سال داشته و 4 = (42+38) - 84 سال پس از مرگ پسرش در گذشته است
در زمان قدیم که روستاییان محصولات خودشان را بمیدان برای فروش می آ وردند یک زن روستایی یک سبد تخم مرغ بمیدان آورده که بفروشد.
هنوز هیچ نفروخته بود که اسب یک سوار پاش خورد بسبد تخم مرغ. نتیحتا بیشتر تخم مرغ ها شکستند.
اسب سوار خیلی نا راحت شد واز روستایی پوزش خوا ست و حاضر شد پول همه آنهارا بپردازد.
اسب سوار از روستایی سوال کرد": "مادر جون چند تا تخم مرغ داشتی؟"
خانم در حواب گفت:
"تعدادشونو نمیدو نم اما وقتی آنهارا دوتا دوتا بر میداشتم یکی باقی میموند
وقتی سه تا سه تا بر میداشتم یکی باقی میموند, وقتی چهارتا چهارتا بر میداشتم یکی باقی میموند, وقتی پنحتا پنحتا بر میداشتم یکی باقی میموند, وقتی شش تا شش تا بر میداشتم یکی باقی میموند, اما وقتیکه هفت تا هفت تا بر میداشتم هیچی باقی نمیموند.
اسب سوار حساب کرد و پول تخم مرغای زن را داد.
- سوال
کمترین تعداد تخم مرغی که زن روستایی میتوانست داشه باشد چندتا بود؟
- جواب ۳۰۱ می‌شه
منطقش اینه که باید کوچکترین عددی رو پیدا کنیم که باقیمانده‌اش وقتی تقسیم به اعداد ۲ تا ۶ میشود باید یک باشه و این عدد مضربی از هفت باشه
از روش دیگر اگر بخواهیم بررسی کنیم می بینیم که a-1بر ۲و۳و۴و۵و۶ بخشپذیر است و از طرف دیگر aبر ۷ بخشپذیر می باشد.ک.م.م اعداد ۲و۳و۴و۵و۶ عدد ۶۰ می باشد اما ۶۰ نمی تواند a-1 باشد زیرا ۶۱ بر۷ بخشپذیر نیست.60*2را بجای a-1 در نظر می گیریم مطلوب نیست ۳*۶۰ را در نظر می گیریم بازهم نمی شود.۴*۶۰ نیز همینطور زیرا ۲۴۱ بر۷ بخشپذیر نیست.اما ۶۰*۵ درست است زیرا عدد ۳۰۱ بر ۷ بخشپذیر است.بنابراین کوچکترین عدد با شرایط مساله ۳۰۱ می باشد که صابر با برنامه اش به آن رسید.
- فرض کنید :
- ۱۰۰ نفر آدم با هوش در یک سالن زندانی هستند.
- حداقل یک نفر و حداکثر همه آنها دارای یک خال بر روی صورتشان هستند.
- هیچ کدام از این افراد نمی دانند که آیا خود دارای خال هستند یا نه.
- به آنها گفته شده که به ازای هر آدم خال دار یک شبانه روز ( نه کمتر و نه بیشتر) مهلت دارند که آدم های خال دار از سالن بیرون بیایند.
- این افراد نمی توانند هیچ ارتباطی با افراد دیگر موجود در سالن برقرار کنند.
- تنها ارتباط موجود دیدن صورت افراد دیگر است.
- به هیچ امکانی هم دسترسی ندارند که صورت خود را ببینند.
- خلاصه پیغام و پیام و آینه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نیست.
سؤال : با چه روشی ممکن است که فقط افراد خال دار در پایان مهلت تعیین شده (n روز به ازای n خال دار) از سالن خارج شوند؟
جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد دیگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو میکشه و بقیه میفهمن که خودشون خالدار نبودن. این از یکی.
حالا برای دو نفر همین استدلال رو تکرار کنین. فرض کنین دو نفر تو قبیله خال دارن. اونی که خالداره میبینه یه نفر تو قبیله خال داره ولی نمیدونه خودش هم خال داره یا نه. با خودش میگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم باید منتظر بمونه. اون فرد دیگه هم همین جور استدلال میکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نمیکنن و منتظر میمونن. در نتیجه میفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو میکشن. اما اونایی که خال ندارن میبینن دو نفر تو قبیله خال دارن. اونا دو روز صبر میکنن تا سرنوشت این دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو میکشن میفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر میکنن و بقیه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو میکشن و از اینجا بقیه میفهمن که خودشون خال ندارن. یعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبیله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده